S1 =1 cm (Anfangsgröße)
S2 =S1 + 1/3 S1 =4/3 cm
S3 =S2 + 1/3 S2 =7/3 cm
S4 =S3 + 1/3 S3 =10/3 cm
...
Wir können hier ein Muster beobachten. Die Größe der Schale in jeder Phase wird durch Hinzufügen von 1/3 der Größe der vorherigen Stufe erhalten.
Im Allgemeinen kann die Größe der Hülle in der n -ten Stufe ausgedrückt werden als:
Sn =s1 + (1/3) s1 + (1/3)^2S1 + ... + (1/3)^(n-1) S1
Um die Anzahl der Schalen zu bestimmen, die die Krabbenschuppen (ohne die anfängliche Hülle), müssen wir den Wert von n ermitteln, für den Sn ≥ 10 cm ist.
10 cm ≤ sn
10 cm ≤ S1 + (1/3) S1 + (1/3)^2S1 + ... + (1/3)^(N-1) S1
10 cm ≤ S1 [1 + (1/3) + (1/3)^2 + ... + (1/3)^(n-1)]
Wir können den Ausdruck in den Klammern als Summe einer geometrischen Serie mit dem ersten Term 1 und dem gemeinsamen Verhältnis 1/3 erkennen. Die Summe einer geometrischen Serie ist gegeben durch:
Sum =a1 / (1 - r), wobei A1 der erste Term und R das gemeinsame Verhältnis ist.
Wenn wir A1 =1 und R =1/3 einstecken, erhalten wir:
Sum =1/(1 - 1/3) =3/2
Daher,
10 cm ≤ S1 [3/2]
S1 ≥ (10 cm) * (2/3)
S1 ≥ 6,67 cm
Dies impliziert, dass die Krabbe ihre Hülle abgibt, wenn sie eine Größe von ca. 6,67 cm erreicht.
Um die Anzahl der Schalenschuppen zu bestimmen, müssen wir den Wert von n so ermitteln, dass SN ≥ 6,67 cm.
6,67 cm ≤ S1 + (1/3) S1 + (1/3)^2S1 + ... + (1/3)^(N-1) S1
6,67 cm ≤ S1 [1 + (1/3) + (1/3)^2 + ... + (1/3)^(N-1)]
Da die Summe der geometrischen Serie 3/2 beträgt, haben wir:
6,67 cm ≤ S1 * (3/2)
S1 ≥ (6,67 cm) * (2/3)
S1 ≥ 4,45 cm
Dies bedeutet, dass die Krabbe ihre Hülle abgibt, sobald ihre Größe 4,45 cm überschreitet.
Jetzt müssen wir die Anzahl der Stufen oder Molzen bestimmen, die die Krabbe unterliegt, bevor ihre Größe 4,45 cm überschreitet.
Beginnend mit S1 =1 cm können wir die nachfolgenden Stadien wie folgt berechnen:
S2 =1 cm + (1/3) cm =4/3 cm
S3 =4/3 cm + (1/3) * 4/3 cm =7/3 cm
S4 =7/3 cm + (1/3) * 7/3 cm =10/3 cm
Wir können sehen, dass S4 größer als 4,45 cm ist. Daher wird die Krabbe ihre Hülle während des Übergangs von der dritten Stufe (S3) auf die vierte Stufe (S4) abgeben.
Die Krabbe hat also 3 Schalen (mit Ausnahme der anfänglichen Hülle) zum Zeitpunkt ihrer Größe 10 cm.